זהויות 4: ערכים מדויקים – 30, 45 ו־60 מעלותטריגונומטריה 571 · שיעור 41
טריגונומטריה · שאלון 571
שיעור 40 – זהויות 4: ערכים מדויקים – 30, 45 ו־60 מעלות
פרק 6 – זהויות טריגונומטריות
1נוסח השאלה
2סעיף א – זווית של 45 מעלות
3סעיף ב – זוויות של 30 ו־60 מעלות
4סעיף ג – תשובה מדויקת
📄 נוסח השאלה
א. בריבוע ABCD שאורך צלעו 1 מעבירים את האלכסון AC. מצאו ערכים מדויקים (בלי מחשבון) ל־sin 45 , cos 45 , tan 45.
ב. במשולש שווה צלעות ABC שאורך צלעו 2 מורידים את הגובה AD. מצאו ערכים מדויקים ל־sin 30 , cos 30 , sin 60 , cos 60 , tan 60.
📄 נוסח השאלה · המשך
ג. במשולש ABC נתון: ∢B = 45 , ∢C = 30 , AC = 10. מצאו את אורך הצלע AB ואת רדיוס המעגל החוסם את המשולש – תשובה מדויקת.
סעיף א – זווית של 45 מעלות
במשולש ABC הזווית ∢B ישרה, והאלכסון חוצה את הזווית הישרה של הריבוע: ∢BAC = 45.
AC2 = AB2 + BC2 = 1 + 1 = 2
📐 משפט פיתגורס
AC = √2
sin 45 = BCAC = 1√2 = √22
📐 סינוס במשולש ישר זווית
cos 45 = ABAC = 1√2 = √22
📐 קוסינוס במשולש ישר זווית
tan 45 = BCAB = 11 = 1
📐 טנגנס במשולש ישר זווית
📐 משפט פיתגורס
ניצב2 + ניצב2 = יתר2
📐 סינוס במשולש ישר זווית
sin = ניצב מול הזוויתיתר
📐 קוסינוס במשולש ישר זווית
cos = ניצב ליד הזוויתיתר
📐 טנגנס במשולש ישר זווית
tan = ניצב מול הזוויתניצב ליד הזווית
סעיף א – זווית של 45 מעלות · המשך
tan 45 = BCAB = 11 = 1
📐 טנגנס במשולש ישר זווית
✅ פתרון סופי: sin 45 = cos 45 = √22 , tan 45 = 1
📐 טנגנס במשולש ישר זווית
tan = ניצב מול הזוויתניצב ליד הזווית
סעיף ב – זוויות של 30 ו־60 מעלות
במשולש שווה צלעות כל זווית 60 מעלות. הגובה AD הוא גם תיכון וגם חוצה זווית, ולכן BD = 1 ו־∢BAD = 30.
AD2 + BD2 = AB2
📐 משפט פיתגורס
AD2 + 1 = 4 ⇒ AD = √3
sin 30 = BDAB = 12
📐 סינוס במשולש ישר זווית
cos 30 = ADAB = √32
📐 קוסינוס במשולש ישר זווית
sin 60 = ADAB = √32
📐 סינוס במשולש ישר זווית
📐 משפט פיתגורס
ניצב2 + ניצב2 = יתר2
📐 סינוס במשולש ישר זווית
sin = ניצב מול הזוויתיתר
📐 קוסינוס במשולש ישר זווית
cos = ניצב ליד הזוויתיתר
📐 סינוס במשולש ישר זווית
sin = ניצב מול הזוויתיתר
סעיף ב – זוויות של 30 ו־60 מעלות · המשך
sin 60 = ADAB = √32
📐 סינוס במשולש ישר זווית
cos 60 = BDAB = 12
📐 קוסינוס במשולש ישר זווית
tan 60 = ADBD = √3
📐 טנגנס במשולש ישר זווית
✅ פתרון סופי: sin 30 = cos 60 = 12 , sin 60 = cos 30 = √32 , tan 60 = √3
📐 סינוס במשולש ישר זווית
sin = ניצב מול הזוויתיתר
📐 קוסינוס במשולש ישר זווית
cos = ניצב ליד הזוויתיתר
📐 טנגנס במשולש ישר זווית
tan = ניצב מול הזוויתניצב ליד הזווית
סעיף ג – תשובה מדויקת
הצלע AB מול ∢C, והצלע AC מול ∢B:
ABsin∢C = ACsin∢B
📐 משפט הסינוסים
נציב ∢C = 30 , AC = 10 , ∢B = 45:
ABsin 30 = 10sin 45
נציב את הערכים המדויקים מסעיפים א ו־ב:
AB12 = 10√22
📐 משפט הסינוסים
asin∢A = bsin∢B = csin∢C = 2R
סעיף ג – תשובה מדויקת · המשך
AB12 = 10√22
AB = 10 · 12√22 = 51 · 2√2 = 10√2
10√2 = 10√22 = 5√2 ≈ 7.07
רדיוס המעגל החוסם – מאותו משפט:
ACsin∢B = 2R
📐 משפט הסינוסים
2R = 10√22 = 20√2 = 10√2
📐 משפט הסינוסים
asin∢A = bsin∢B = csin∢C = 2R
סעיף ג – תשובה מדויקת · המשך
2R = 10√22 = 20√2 = 10√2
R = 5√2 ≈ 7.07
✅ פתרון סופי: AB = 5√2 ≈ 7.07 , R = 5√2
📌 סיכום התשובות
סעיף א
sin 45 = cos 45 = √22 , tan 45 = 1
סעיף ב
sin 30 = 12 , cos 30 = √32 , tan 60 = √3
סעיף ג
AB = 5√2 , R = 5√2
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא